Understanding Vectors
矢量有维数和方向。例如，下图显示了笛卡尔坐标系中的二维矢量 \vec{a}，它被描绘成一个箭头。 矢量 \vec{a} 的头部位于点 (a_1, a_2)。x 坐标值为 a_1，y 坐标值为 a_2。这些坐标也被称为向量的分量。
Similarity
可以应用几个数学公式来确定两个矢量是否相似。最直观、最易于理解的公式之一是余弦相似度。考虑一下以下图片，它们显示了三组图形：
当两个矢量彼此靠近时，就认为它们是相似的，就像第一个图表中所示的。当它们彼此垂直时，则认为这些矢量无关，当它们相互远离时，则认为它们相反。
它们之间的角度 \theta 是衡量相似度的一个很好的指标。如何计算角度 \theta？
我们都熟悉 Pythagorean Theorem。
当*a*和*b*之间的角度不是90度时的情况如何呢？
输入 Law of cosines。
a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = c^2
下图显示了这种方法，展示为矢量图：
此向量的幅度由其分量定义为：
\vec{A} * \vec{A} = ||\vec{A}||^2 = A_1^2 + A_2^2
两个向量\vec{A}和\vec{B}之间的点积由其分量定义为：
\vec{A} * \vec{B} = A_1B_1 + A_2B_2
使用向量幅度和点积重新编写余弦定理，得到以下结果：
||\vec{A}||^2 + ||\vec{B}||^2 - 2||\vec{A}||||\vec{B}||\cos\theta = ||\vec{C}||^2
将||\vec{C}||^2替换为||\vec{B} - \vec{A}||^2，得到以下结果：
||\vec{A}||^2 + ||\vec{B}||^2 - 2||\vec{A}||||\vec{B}||\cos\theta = ||\vec{B} - \vec{A}||^2
Expanding this out为我们提供了 Cosine Similarity的公式。
相似性(vec{A},vec{B}) = \cos(\theta) = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{||\vec{A}\||\cdot||\vec{B}||
此公式适用于大于 2 或 3 的维数，尽管很难可视化。但是， it can be visualized to some extent。在 AI/ML 应用程序中，具有数百甚至数千个维度的向量很常见。
下面显示使用向量的分量的更高维度中的相似度函数。它使用 Summation mathematical syntax将以前给出的“Magnitude”和“Dot Product”的二维定义扩展到 *N*维度。
相似性(vec{A},vec{B}) = \cos(\theta) = \frac{ \sum_{i=1}^{n} {A_i B_i} }{ \sqrt{\sum_{i=1}{n}{A_i2} \cdot \sum_{i=1}{n}{B_i2}}
这是向量存储的简单实现中使用的一项关键公式，可以在`InMemoryVectorStore`实现中找到。