Digital-electronics 简明教程
Digital Electronics - DeMorgan’s Theorem
在布尔代数中，定义了几条规则来执行数字逻辑电路中的运算。布尔代数是一种用于对二进制位（即 0 和 1）执行运算的工具。这两个二进制位 0 和 1 用于表示数字电路中输入和输出端的假和真状态。布尔代数由 George Boole 创建，使用 0 和 1 创建真值表以及数字电路的逻辑表达式（例如 AND、OR、NOT 等），用于分析和简化复杂电路。
还有另一位英国数学家 Augustus DeMorgan 解释说，与非运算 (NAND) 和或非运算 (NOR) 分别对应于非与运算 (NOT AND) 和非或运算 (NOT OR)。此解释被称为德摩根定理。本教程将详细讨论 DeMorgan’s theorem 。
What is DeMorgan’s Theorem?
德摩根定理是布尔代数中一个有力的定理，它拥有一组两条规则或定律。这两条定律是为展示两个变量与运算、或运算和非运算之间的关系而制定的。这两条规则使变量能够被取反，即取其原始形式的反形式。因此，德摩根定理给出了逻辑函数的对偶。
现在，让我们讨论德摩根定理的两条定律。
DeMorgan’s First Theorem (Law 1)
德摩根第一定律指出，一堆变量的补集 (ORing) 等于它们的个体补集的乘积 (ANDing)。换言之，两个或更多个 OR 运算的变量的补集相当于每个个体变量补集的 AND 运算，即
\mathrm{\overline{A+B} \: = \: \bar{A} \cdot \bar{B}}
或者，也可以表示为
\mathrm{\lgroup A \: + \: B \rgroup' \: = \: A'\cdot B'}
此定律左右两侧的逻辑实现如图 1 所示。
因此，德摩根第一定理证明了或非门 (NOR) 等于一个带气泡的与门 (AND)。下方的真值表显示了此定律的证明。
Left Side |
Right Side |
Input |
Output |
Input |
Output |
A |
B |
(A + B)' |
A' |
B' |
A'· B' |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
此真值表证明了左侧的布尔表达式等价于德摩根第一定律表达式的右侧。
此外，德摩根定理的第一定律可以扩展到任意数量的变量或变量组合。
例如，
\mathrm{\overline{A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \: + \: \dotso} \: = \: \bar{A} \: \bar{B} \: \bar{C} \: \bar{D} \: \bar{E} \: \dotso}
又
\mathrm{\overline{ABC \: + \: DE \: + \: FGH \: + \: \dotso}\: = \: \overline{\lgroup ABC \rgroup}.\overline{\lgroup DE \rgroup}.\overline{\lgroup FGH\rgroup}.\dotso}
从上述讨论中，我们可以得出结论：德摩根第一定律将一个非运算符号下的求和形式的表达式转换为乘积形式。
DeMorgan’s Second Theorem (Law 2)
德摩根第二定律指出，一堆变量的乘积 (ANDing) 的补集相当于它们的个体补集的和 (ORing)。
换句话说，两个或更多 AND 变量的补等于每个单个变量的补的和，即，
\(\mathrm{\overline{AB} \: = \: \overline{A} \: + \: \overline{B}}\)
也可以表示为，
\(\mathrm{\lgroup AB \rgroup' \: = \: A' \: + \: B'}\)
此表达式的左右两边的逻辑实现如图 2 所示。
因此，德·摩根的第二定律证明了 NAND 门等效于加圈的 OR 门。下表显示了此定律的证明。
Left Side |
Right Side |
Input |
Output |
Input |
Output |
A |
B |
AB |
A' |
B' |
A' + B' |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
此真值表证明了德·摩根第二定律表达式的左侧的布尔表达式等效于右侧的表达式。
类似于第一定律，我们可以将德·摩根第二定律扩展到任意数量的变量或变量组合。
例如，
\(\mathrm{\overline{ABCDE \dotso} \: = \: \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \: + \: \dotso}\)
而对于变量组合，
\(\mathrm{\overline{\lgroup ABC \rgroup} \overline{\lgroup DE \rgroup} \overline{\lgroup FG \rgroup \dotso} \: = \: \overline{ABC} \: + \: \overline{DE} \: + \: \overline{FG}}\)
因此，从上面的讨论中，我们可以得出结论，即德·摩根第二定律将变量的乘积形式或变量组合在 NOT 符号下转换为加和形式。
因此，德·摩根定律将 AND 运算转换为 OR 运算，将 OR 运算转换为 AND 运算。此原理称为对偶性。
Example 1
将德·摩根定理应用于以下布尔表达式，
\(\mathrm{F \: = \: \overline{AB \overline{ \lgroup C \: + \: D \rgroup}EF}}\)