Digital-electronics 简明教程
Digital Electronics - Threshold Logic
在前面的章节中，我们已经使用逻辑门实现了各种组合电路。除了非门之外，其余所有逻辑门至少有两个输入和一个输出。类似地 threshold gate 也至少包含一个输入和一个输出。
此外，它包含每个输入的相应权重和一个阈值。这些权重和阈值的值可以是任何有限实数。
Basics of Threshold gate
令阈值门的输入为 X1、X2、X3、…、Xn。这些输入的相应权重为 W1、W2、W3、…、Wn。阈值门的 symbol 如以下图形所示。
Threshold gate 表示为一个圆，它有“n”个输入 X1 到 Xn 和单个输出 Y。该圆被分成两部分。一部分表示输入对应的权重，而另一部分表示阈值 T。
具有相应权重的输入乘积的总和称为 weighted sum 。如果该加权和大于或等于阈值 T，那么只有输出 Y 才等于 1。否则，输出 Y 将等于 0。
Mathematically ，我们可以在下面将输入和阈值门输出之间的这种关系写成如下形式。
如果 W1X1 + W2X2 + W3X3 + … + WnXn ≥ T，则 Y = 1。
否则，Y = 0。
因此，我们可以仅通过更改权重和/或阈值 T 的值来实现各种逻辑门和布尔函数。
Example
让我们为以下阈值门找到 simplified Boolean function 。
该阈值门具有三个输入 X1、X2、X3 和一个输出 Y。
分别对应于输入 X1、X2 和 X3 的权重为 W1 = 2、W2 = 1 和 W3 = -4。
阈值门的值为 T = -1。
阈值门的 weighted sum 是
W = W1X1 + W2X2 + W3X3
在上述方程中代入给定的权重。
⇒ W = 2X1 + X2 − 4X3
如果 W ≥ −1，则阈值门的输出 Y 将为“1”，否则将为“0”。
以下 table 显示了所有可能输入组合的输入和输出之间的关系。
Input |
Weighted Sum |
Output |
X1 |
X2 |
X3 |
W = 2X1 + X2 - 4X3 |
Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
-3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
从上表中，我们可以为输出 Y 编写 Boolean function ，如下所示：
Y = Σm(0、2、4、6、7)
使用 3 variable K-Map 简化此布尔函数的过程如下图所示。
因此，给定阈值门的 simplified Boolean function 为 Y = X3' + X1 X2。
Synthesis of Threshold Functions
阈值门也称为 universal gate ，因为我们可以使用阈值门来实现任何布尔函数。有时候，可能无法使用单个阈值门来实现一些逻辑门和布尔函数。在那种情况下，我们可能需要多个阈值门。
按照 steps 的这些步骤使用单个阈值门实现布尔函数。
Step 1 - 为给定的布尔函数制定一个 Truth table 表格。
Step 2 - 在上面的真值表中，添加（包含）一列，给出 weighted sums 和 Threshold value 之间的关系。
Step 3 - 对于每种输入组合，按照下面提到的方法，写出自重和与阈值之间的关系。
-
如果布尔函数的输出为 1，则对于这些输入组合，自重和将大于或等于阈值。
-
如果布尔函数的输出为 0，则对于这些输入组合，自重和将小于阈值。
Step 4 - 以这样一种方式选择权重和阈值，使它们满足上述表格最后一列中出现的所有关系。
Step 5 - 绘制带有这些权重和阈值的阈值门的 symbol 。
Example
让我们使用单个阈值门来实现下面的 Boolean function 。
\(\mathrm{Y( X_{1},X_{2},X_{3})\:=\: \sum m ( 0,2,4,6,7)}\)
给定的布尔函数是三变量函数，以最小项和的形式表示。此函数的 Truth table 如下所示。
Input |
Output |
X1 |
X2 |
X3 |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
现在，让我们在上面的真值表中添加（包含）一列。此最后一列包含对于每种输入组合的 weighted sums (W) and Threshold 值 (T) 之间的关系。
Input |
Output |
W 和 T 之间的关系 |
X1 |
X2 |
X3 |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
\(\mathrm{0 \: \geq \: T}\) |
0 |
0 |
1 |
0 |
\(\mathrm{W_{3} \: \lt \: T}\) |
0 |
1 |
0 |
1 |
\(\mathrm{W_{2} \: \geq \: T}\) |
0 |
1 |
1 |
0 |
\(\mathrm{W_{2}+W_{3} \: \lt \: T}\) |
1 |
0 |
0 |
1 |
\(\mathrm{W_{1} \: \geq \: T}\) |
1 |
0 |
1 |
0 |
\(\mathrm{W_{1}+W_{3} \: \lt \: T}\) |
1 |
1 |
0 |
1 |
W1+W2≥T。 |
1 |
1 |
1 |
以下为上述表格的结论。
-
根据第一关系，阈值应为零或负值。
-
根据第一和第二关系，W3 的值应为负值。
-
根据第五和第三关系，W1 和 W2 的值应大于或等于阈值。
-
根据第四关系，W2 应大于 W3。
我们可以根据上述结论为权重和阈值选择以下值。
W1 = 2, W2 = 1, W3 = -4 和 T = -1
具有上述值的阈值门的 symbol 如下所示。
因此，该阈值门实现了给定的 Boolean function , Y(X1,X2,X3):=∑m(0,2,4,6,7)。