Digital-electronics 简明教程

SOP or Sum of Products form 是一种表达式逻辑或布尔表达式的形式。在 SOP 中，输入变量的不同乘积项被逻辑 OR 在一起。因此，在 SOP 形式的情况下，我们首先对输入变量进行逻辑 AND 操作，然后使用逻辑 OR 操作将所有这些乘积项求和。

例如 -

\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: ABC \: + \: \bar{A}BC \: + \: AB \bar{C}}

这是一个包含三个变量的逻辑表达式。在这里，ABC、A’BC 和 ABC' 是三个乘积项，它们被求和以在 SOP 形式中得到表达式。

POS or Product of Sum form 是用于表示逻辑表达式的另一种形式。在 POS 形式中，输入变量的不同和项被逻辑 AND 在一起。因此，如果要以 POS 形式表达一个逻辑表达式，我们首先对所有输入变量进行逻辑 OR 操作，然后使用 AND 操作对这些和项进行 AND 操作。

例如 -

\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup}

在这里，f 是一个包含三个变量的逻辑表达式。从这个示例中可以看出，有三个和项同时进行 AND 操作，从而得到给定表达式的 POS 形式。

现在，我们详细讨论一下标准乘积和 (SSOP) 形式和标准和的乘积 (SPOS) 形式。

一个布尔或逻辑表达式可以表示为两种标准形式，即

Standard Sum of Products (SSOP) form 是一种表达逻辑表达式的形式，其中逻辑表达式表示为多个乘积项的和，而每个乘积项将包含所有变量的逻辑表达式，以补码或非补码形式。

由于 SSOP 形式的每个乘积项都包含所有变量，因此它也被称为 Expanded Sum of Products 形式。SSOP 形式也称为 Disjunctive Canonical Form (DCF) 、 Canonical Sum of Products Form 或 Normal Sum of Products Form.

通过确定对给定逻辑表达式 (称作 f) 具有值 1 的那些组合所对应的所有项的和，我们可以从真值表中简单得到逻辑表达式的标准乘积和形式。

我们还可以使用布尔代数从乘积和 (SOP) 形式得到一个表达式的标准乘积和 (SSOP) 形式。

例如，

\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \: + \: B \bar{C}}

这是一个包含三个变量的逻辑表达式，但它是以 SOP 形式表示的。我们可以使用布尔代数以如下方式将此表达式转换为 SSOP 形式。

\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \lgroup C \: + \: \bar{C} \rgroup \: + \: B \bar{C} \lgroup A \: + \: \bar{A} \rgroup}

\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B}C \: + \: A \bar{B} \: \bar{C} \: + \: AB \bar{C} \: + \: \bar{A}BC}

这是给定的逻辑表达式的标准乘积和形式。我们比较容易发现, 在 SSOP 形式中, 每个乘积项都包含逻辑函数的所有变量, 无论是补码形式还是非补码形式。这些乘积项中的每一个都称为 minterm 。一个具有 n 个变量的逻辑函数或表达式可以最多有 2n 个极小项。值为 1 的逻辑表达式的极小项之和称为表达式的标准乘积和形式。

Standard Product of Sums (SPOS) form 是表示逻辑函数的一种形式, 其中逻辑表达式表示为多个和项的乘积, 其中每个和项都将包含逻辑表达式的所有变量, 无论是补码形式还是非补码形式。

SPOS 形式也称为 Conjunctive Canonical Form (CCF) or Expanded Product of Sums Form 或 Normal Product of Sums Form 或 Canonical Product of Sums Form 。

每个术语的 SPOS 形式都是通过考虑输出等于 0 的变量组合得出的。每个术语都是表达式的所有变量的总和。

在 SPOS 形式中, 如果变量在组合中取值为 1, 则该变量以其补码形式出现；如果变量在组合中取值为 0, 则该变量以非补码形式出现。

在标准和积形式的情况下, 其中一个包含函数中每个 n 个变量（以补码形式或非补码形式）的术语称为 maxterm 。在 n 个变量的逻辑函数中, 最多可以有 2n 个极大项。值为 0 的逻辑表达式的极大项乘积称为表达式的标准和积形式。

类似于 SSOP 形式, 我们可以通过确定满足给定逻辑表达式（假设为 f）值为 0 的变量组合的所有和项的乘积, 从逻辑表达式的真值表中获得标准和积形式。

此外, 逻辑表达式的 SPOS 形式可以通过使用布尔代数获得。

例如，

\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \rgroup}

这是一个具有三个变量的逻辑表达式, 但它以 POS 形式表示。我们可以使用布尔代数将此表达式转换成 SPOS 形式, 如下所示。

\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C\rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \bar{C} \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \: + \: B \bar{B} \rgroup}

\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C} \rgroup}

这是给定逻辑表达式的标准和积 (SPOS) 形式。在这里, 我们注意到, 在 SPOS 形式中, 每个和项都包含逻辑函数的所有变量, 无论是补码形式还是非补码形式。