Scipy 简明教程

SciPy - Linalg

SciPy 是基于经过优化的 ATLAS LAPACK 和 BLAS 库构建的。它具有非常快的线性代数功能。所有这些线性代数例程都预期使用可转换为二维阵列的对象。这些例程的输出也是一个二维阵列。

SciPy.linalg vs NumPy.linalg

scipy.linalg 包含 numpy.linalg 中的所有函数。另外，scipy.linalg 还有 numpy.linalg 中没有的某些高级函数。与 numpy.linalg 相比，使用 scipy.linalg 的另一个优势在于它始终与 BLAS/LAPACK 支持一起编译，而对于 NumPy 则是可选的。因此，根据 NumPy 的安装方式，使用 SciPy 的版本可能会更快。

Linear Equations

scipy.linalg.solve 特性用于求解线性方程 a * x + b * y = Z，未知数为 x、y。

举例来说，假设希望求解下列联立方程组：

x + 3y + 5z = 10

2x + 5y + z = 8

2x + 3y + 8z = 3

为了对 x、y、z 求解上述方程，我们可以使用矩阵逆来找到解向量，如下所示：

\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 5 & 1\\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 10\\ 8\\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{25} \begin{bmatrix} -232\\ 129\\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9.28\\ 5.16\\ 0.76 \end{bmatrix}.

但是，最好使用可以更快并且数值稳定的 linalg.solve 命令。

solve 函数接受两个输入“a”和“b”，其中“a”表示系数，“b”表示右侧相应的值，并返回解数组。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy arrays
a = np.array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]])
b = np.array([2, 4, -1])

#Passing the values to the solve function
x = linalg.solve(a, b)

#printing the result array
print x

上述程序将生成以下输出。

array([ 2., -2., 9.])

Finding a Determinant

方阵 A 的行列式通常表示为 |A|，是线性代数中经常使用的量。在 SciPy 中，使用 det() 函数计算该行列式。它将矩阵作为输入，并返回标量值。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])

#Passing the values to the det function
x = linalg.det(A)

#printing the result
print x

上述程序将生成以下输出。

-2.0

Eigenvalues and Eigenvectors

特征值-特征向量问题是使用最普遍的线性代数运算之一。我们可以通过考虑以下关系来找到方阵（A）的特征值（λ）和相应的特征向量（v）−

Av = λv

scipy.linalg.eig 计算常规特征值问题或广义特征值问题的特征值。该函数返回特征值和特征向量。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])

#Passing the values to the eig function
l, v = linalg.eig(A)

#printing the result for eigen values
print l

#printing the result for eigen vectors
print v

上述程序将生成以下输出。

array([-0.37228132+0.j, 5.37228132+0.j]) #--Eigen Values
array([[-0.82456484, -0.41597356], #--Eigen Vectors
       [ 0.56576746, -0.90937671]])

Singular Value Decomposition

奇异值分解 (SVD) 可被视为将特征值问题扩展到非方阵的矩阵。

scipy.linalg.svd 将矩阵“a”分解为两个酉矩阵“U”和“Vh”以及奇异值（实数、非负数）的一维数组“s”，使得 a == U*S*Vh，其中“S”是以主对角线“s”为适形矩阵的零矩阵。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy array
a = np.random.randn(3, 2) + 1.j*np.random.randn(3, 2)

#Passing the values to the eig function
U, s, Vh = linalg.svd(a)

# printing the result
print U, Vh, s

上述程序将生成以下输出。

(
   array([
      [ 0.54828424-0.23329795j, -0.38465728+0.01566714j,
      -0.18764355+0.67936712j],
      [-0.27123194-0.5327436j , -0.57080163-0.00266155j,
      -0.39868941-0.39729416j],
      [ 0.34443818+0.4110186j , -0.47972716+0.54390586j,
      0.25028608-0.35186815j]
   ]),

   array([ 3.25745379, 1.16150607]),

   array([
      [-0.35312444+0.j , 0.32400401+0.87768134j],
      [-0.93557636+0.j , -0.12229224-0.33127251j]
   ])
)