Sympy 简明教程

SymPy - Integration

SymPy 程序包包含 integrals 模块。它实现计算表达式的定积分和不定积分的方法。integrate() 方法用于计算定积分和不定积分。要计算不定积分或原始积分，只须在表达式后面传递变量。

例如 -

integrate(f, x)

若要计算定积分，请按如下所示传递参数 -

(integration_variable, lower_limit, upper_limit)

>>> from sympy import *
>>> x,y = symbols('x y')
>>> expr=x**2 + x + 1
>>> integrate(expr, x)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

>>> expr=sin(x)*tan(x)
>>> expr
>>> integrate(expr,x)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$

以下是定积分的示例 -

>>> expr=exp(-x**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo) )

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{\sqrt\pi}{2}$

你可以传递多个限制元组来执行定积分。以下是示例 -

>>> expr=exp(-x**2 - y**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{\pi}{4}$

你可以使用 Integral 对象创建未计算的积分，而 Integral 对象可以通过调用 doit() 方法来计算。

>>> expr = Integral(log(x)**2, x)
>>> expr

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$

>>> expr.doit()

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x\log(x)^2 - 2xlog(x) + 2x$

SymPy 支持各种类型的积分变换，如下所示 -

这些函数在 sympy.integrals.transforms 模块中定义。下列示例分别为计算傅里叶变换和拉普拉斯变换。

Example 1

>>> from sympy import fourier_transform, exp
>>> from sympy.abc import x, k
>>> expr=exp(-x**2)
>>> fourier_transform(expr, x, k)

在 Python shell 中执行上面的命令后，将生成以下输出 -

sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)

等效于 -

$\sqrt\pi * e^{\pi2k^2}$

Example 2

>>> from sympy.integrals import laplace_transform
>>> from sympy.abc import t, s, a
>>> laplace_transform(t**a, t, s)

在 Python shell 中执行上面的命令后，将生成以下输出 -

(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)