Sympy 简明教程

SymPy 是执行符号计算的 Python 库。它是一个 computer algebra system （CAS），可以用作独立应用程序或作为其他应用程序的库。它的实时会话也可在 https://live.sympy.org/ 上获取。因为它是一个纯 Python 库，所以可以用交互模式和编程应用程序使用。SymPy 已成为科学 Python 生态系统中流行的符号库。

SymPy 具备广泛的功能，适用于基本符号算术、微积分、代数、离散数学、量子物理学等领域。SymPy 可以以多种格式（包括 LaTeX、MathML 等）设置结果格式。SymPy 按照新 BSD 许可证分发。由 Ondřej Čertík 和 Aaron Meurer 领导的开发人员团队于 2007 年发布了 SymPy 的第一个版本。它的当前版本是 1.5.1。

SymPy 的一些应用领域有 -

SymPy 有一个重要的先决条件库，名称为 mpmath 。这个 Python 库用于任意精度的实数和复数浮点运算。但是，在按以下方式安装 SymPy 时，Python 的软件包安装程序 PIP 会自动安装它 -

其他 Python 分发包（如 Anaconda、Enthought Canopy 等）可能已将 SymPy 内置其中。要验证，可以在 Python 提示符中键入以下内容 -

然后你将获得如下 SymPy 当前版本输出 -

'1.5.1'

可在 https://github.com/sympy/sympy 上获取 SymPy 软件包的源代码。

符号计算指的是用于操纵数学表达式和其他数学对象的算法的开发。符号计算将数学与计算机科学结合起来，使用数学符号来求解数学表达式。计算机代数系统（CAS），如 SymPy，使用传统手工方法中使用的相同符号精确求解（非近似）代数表达式。举个例子，我们可以像下面给出的那样，使用 Python 的 math 模块计算一个数的平方根 -

上述代码段的输出如下：

5.0 2.6457513110645907

正如你所见，7 的平方根被近似计算。但在 SymPy 中，非完全平方数的平方根默认情况下都未经评估，如下所示：

上述代码段的输出如下：

sqrt(7)

使用以下代码段，可以用符号方式简化和显示表达式的结果：

上述代码段的输出如下：

3.4641016151377544

您需要使用下面的代码段来使用 sympy 执行相同的操作：

其输出如下：

2*sqrt(3)

在 Jupyter Notebook 中运行时，SymPy 代码会利用 MathJax 库以 LaTeX 形式渲染数学符号。这在下面的代码片段中有所体现 -

在 Python shell 中执行上面的命令后，将生成以下输出 -

它与下式等价

$\int \mathrm{x}^{x}\,\mathrm{d}x$

可以使用传统的符号来表示非完全平方数的平方根，如下所示

上述代码段的输出如下：

$\sqrt7$

符号计算系统（如 SymPy）能够以符号形式执行各种计算（如导数、积分和极限，求解方程，使用矩阵）。SymPy 包含不同的模块，这些模块支持绘图、打印（如 LATEX）、物理、统计、组合、数论、几何、逻辑等。

SymPy 包中的核心模块包含表示原子数的数字类。该类有两个子类：Float 和 Rational 类。Rational 类由 Integer 类进一步扩展。

Float 类表示任意精度的浮点数。

上述代码段的输出如下：

6.32

SymPy 可以将整数或字符串转换为浮点数。

10.0

133000.0

在转换为浮点数的同时，也可以根据如下内容指定用于精度的数字：

上述代码段的输出如下：

1.3

数字 (p/q) 的表示形式通过 Rational 类对象表示，而 q 是非零数字。

上述代码段的输出如下：

$\frac{3}{4}$

如果将浮点数传递给 Rational() 构造函数，它将返回其二进制表示的底层值

上述代码段的输出如下：

$\frac{3602879701896397}{18014398509481984}$

为了更简单的表示，指定分母限制。

上述代码段的输出如下：

$\frac{1}{5}$

当字符串传给 Rational() 构造函数时，将返回任意精度的有理数。

上述代码段的输出如下：

$\frac{73}{20}$

如果传递两个数字参数，也可以获得有理数对象。分子和分母部分作为属性提供。

上述代码段的输出如下：

3/5

numerator:3, denominator:5

上述代码段的输出如下：

$\frac{3}{5}$

SymPy 中的 Integer 类表示任何大小的整数。构造函数可以接受 Float 或 Rational 数，但会舍弃分数部分。

上述代码段的输出如下：

10

上述代码段的输出如下：

3

上述代码段的输出如下：

0

SymPy 有一个 RealNumber 类，充当 Float 的别名。SymPy 还将 Zero 和 One 定义为单例类，分别可以通过 S.Zero 和 S.One 访问，如下所示：

输出如下 −

0

输出如下 −

1

其他预定义单例数字对象包括 Half、NaN、Infinity 和 ImaginaryUnit。

输出如下 −

½

输出如下 −

nan

可以将 Infinity 表示为 oo 符号对象或 S.Infinity

上述代码段的输出如下：

$\infty$

上述代码段的输出如下：

$\infty$

可以将 ImaginaryUnit 数字导入为 I 符号，或者以 S.ImaginaryUnit 为索引符号进行访问，它表示 -1 的平方根

执行上述代码片段时，你将获得以下输出 −

i

上述片段的输出如下 −

i

执行上述代码片段时，你将获得以下输出 −

-1

Symbol 是 symPy 库中最重要的类。如前所述，符号运算使用符号执行。SymPy 变量是 Symbols 类中的对象。

Symbol() 函数的参数是要分配给变量的符号包含的字符串。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x^2 + y^2$

符号可以包含多个字母。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$side^3$

SymPy 还有一个 Symbols() 函数，该函数可以同时定义多个符号。字符串包含用逗号或空格分隔的变量名称。

在 SymPy 的 abc 模块中，所有拉丁字母和希腊字母都被定义为符号。因此，这种方法的便利性在于不需要实例化 Symbol 对象。

但是，名称 C, O, S, I, N, E 和 Q 是预定义符号。此外，在 abc 模块中没有定义包含多个字母的符号，为此你应该像上面一样使用 Symbol 对象。abc 模块定义了特殊名称，可以检测默认 SymPy 名称空间中的定义。clash1 包含单个字母，clash2 有多个字母冲突符号

上述片段的输出如下 −

{'C': C, 'O': O, 'Q': Q, 'N': N, 'I': I, 'E': E, 'S': S}

上述片段的输出如下 −

{'beta': beta, 'zeta': zeta, 'gamma': gamma, 'pi': pi}

索引符号可以使用类似于 range() 函数的语法进行定义。范围由冒号指示。范围类型由冒号右侧的字符确定。如果 itr 是一个数字，则左侧的所有连续数字都将视为非负起始值。右侧的所有连续数字都将视为比结束值大 1。

上述片段的输出如下 −

(a0, a1, a2, a3, a4)

上述片段的输出如下 −

(mark1, mark2, mark3)

对数学表达式执行的最基本操作之一是替换。SymPy 中的 subs() 函数将第一个参数的所有出现替换为第二个参数。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\sin^2(x)+\cos2(x)$

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\sin^2(a)+\cos2(a)$

如果我们想求某个表达式，此函数非常有用。例如，我们想通过用 5 替换 a 来计算以下表达式的值。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$a^2 + 2a + 5$

上面的代码段给出了以下输出：

40

上面的代码段给出了以下输出：

0

此函数还用于替换子表达式为另一个子表达式。在以下示例中，将 b 替换为 a+b。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$(2a + b)^2$

sympify() 函数用于转换任何任意表达式，这样它就可以用作 SymPy 表达式。整数对象等常规 Python 对象在 SymPy 中得到转换。整数等字符串也会转换为 SymPy 表达式。

上面的代码段给出了以下输出：

12

任何 Python 对象都可以转换为 SymPy 对象。然而，由于转换在内部使用 eval() 函数，因此不应使用未经清理的表达式，否则会引发 SympifyError。

SympifyError：表达式“无法解析’x***2'”的 Sympify 失败，因为引发了异常。

sympify() 函数采用如下参数：* strict：默认值为 False。如果设置为 True，则仅转换已为其定义显式转换的类型。否则，会引发 SympifyError。* evaluate：如果设置为 False，算术和运算符将转换为其 SymPy 等效项，而不会求值表达式。

上面的代码段给出了以下输出：

4

上面的代码段给出了以下输出：

$\frac{10}{5}+\frac{4}{2}$

此函数会计算给定的数值表达式，其浮点精度最高为 100 位。此函数还使用 subs 参数获取符号的数值字典对象。考虑以下表达式

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\Pi{r^2}$

要使用 evalf() 函数求值以上表达式，请用 5 替换 r

上面的代码段给出了以下输出：

78.5398163397448

默认情况下，浮点精度最高为 15 位，可由 100 以内的任何数字覆盖。以下表达式的精度求值最高为 20 位。

上面的代码段给出了以下输出：

33.333333333333333333

lambdify 函数将 SymPy 表达式转换为 Python 函数。如果要在较大的值范围内求解表达式，则 evalf() 函数效率不高。lambdify 就像一个 lambda 函数，但它会将 SymPy 名称转换为给定数值库的名称，通常是 NumPy。默认情况下，lambdify 对 math 标准库中的实现进行操作。

上面的代码段给出了以下输出：

627.8831939138764

该表达式可能具有多个变量。在这种情况下，lambdify() 函数的第一个参数是变量列表，后跟要计算的表达式。

上面的代码段给出了以下输出：

13

然而，要利用 numpy 库作为数值后端，我们必须将其定义为 lambdify() 函数的参数。

我们在上述函数中为两个参数 a 和 b 使用了两个 numpy 数组。对于 numpy 数组，执行时间相当快。

上面的代码段给出了以下输出：

array([ 37, 53, 73, 97, 125], dtype=int32)

布尔函数在 sympy.basic.booleanarg module 中定义。可以使用标准 python 运算符 &（And）、|（Or）、~（Not）以及 >> 和 << 来构建布尔表达式。布尔表达式继承自 SymPy 核心模块中定义的 Basic 类。

SymPy 程序包中的假设模块包含用于提取有关表达式的信息的工具。该模块为此目的定义了 ask() 函数。

以下属性提供了有关表达式的有用信息 −

algebraic(x)

为了成为代数数，一个数必须是有理系数的非零多项式方程的根。√2 是代数数，因为 √2 是 x2 − 2 = 0 的解。

complex(x)

复数谓词。当且仅当 x 属于复数集时，它为真。

composite(x)

ask(Q.composite(x)) 返回的复合数谓词当且仅当 x 为正整数，并且除了 1 和该数本身外，至少有一个正除数时为真。

even, odd

ask() 分别返回 x 在偶数集中和奇数集中的真值。

imaginary

此属性表示虚数谓词。当 x 可以表示为一个实数乘以虚数单位 I 时，它为真。

integer

Q.integer(x) 返回的此属性返回 x 属于偶数集的真值。

rational, irrational

Q.irrational（x）成立当且仅当 x 是任何不能表示为整数比的实数。例如，π 是一个无理数。

positive, negative

检查数字是正还是负的谓词

zero, nonzero

检查数字是否为零的谓词

Sympy 有强大的数学表达式简化能力。SymPy 中有许多函数可执行各种类型的化简。有一个称为 simplify() 的通用函数，它尝试到达表达式的最简单形式。

函数的导数是指它相对于其一个变量的瞬时变化率。这相当于找到该函数在某一点的切线斜率。我们能够使用 SymPy 包中的 diff() 函数找到以变量形式表示的数学表达式的微分。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x\sin(x^2) + 1$

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$2x^2\cos(x2) + \sin(x^2)$

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

2xex2

若要获取多个导数，按照需要求导的次数传递变量，或在变量后传递一个数字。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$24x$

上面的代码段给出了以下表达式：

4*x 3

12*x 2

24*x

也可以调用表达式的 diff() 方法。它的工作方式与 diff() 函数类似。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$2x^2\cos(x2) + \sin(x^2)$

使用 Derivative 类可以创建一个未求值的导数。它的语法与 diff() 函数相同。若要求一个未求值的导数，请使用 doit 方法。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{d}{dx}(x\sin(x^2)+1)$

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$2x^2\cos(x2) + \sin(x^2)$

SymPy 程序包包含 integrals 模块。它实现计算表达式的定积分和不定积分的方法。integrate() 方法用于计算定积分和不定积分。要计算不定积分或原始积分，只须在表达式后面传递变量。

例如 -

若要计算定积分，请按如下所示传递参数 -

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$

以下是定积分的示例 -

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{\sqrt\pi}{2}$

你可以传递多个限制元组来执行定积分。以下是示例 -

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{\pi}{4}$

你可以使用 Integral 对象创建未计算的积分，而 Integral 对象可以通过调用 doit() 方法来计算。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x\log(x)^2 - 2xlog(x) + 2x$

在数学中，矩阵是二维数字、符号或表达式的数组。矩阵操作的理论涉及对矩阵目标执行算术操作，但要遵循特定规则。

线性变换是矩阵的重要应用之一。许多科学领域，特别是与物理学相关的领域，都使用与矩阵相关的应用程序。

SymPy 包具有处理矩阵的 matrices 模块。他包含 Matrix 类，其对象表示一个矩阵。

Note: If you want to execute all the snippets in this chapter individually, you need to import the matrix module as shown below −

Example

在 Python shell 中执行上面的命令后，将生成以下输出 -

[1 2 3 2 3 1]

可以使用大小合适的 List 对象创建矩阵。也可以通过按指定行数和列数分配列表项来获取矩阵。

在 Python shell 中执行上面的命令后，将生成以下输出 -

[10 40 30 2 6 9]

矩阵是一个可变对象。matrices 模块还提供 ImmutableMatrix 类来获取不可变矩阵。

Sympy 包具有 Function 类，该类在 sympy.core.function 模块中定义。它是一个基类，适用于所有应用的数学函数，也是未定义函数类的构造函数。

以下类别的函数从 Function 类继承 −

在数学中，四元数数系是由复数扩展得来的。每个四元数对象包含四个标量变量和四个维度，一个实数维度和三个虚数维度。

四元数由以下表达式表示 −

q=a+bi+cj+dk

其中 a, b, c 和 d 是实数， i, j, k 是四元数单位，使得 i2==j2==k2==ijk

sympy.algebras.quaternion 模块有四元数类。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$2 + 3i + 1j + 4k$

四元数用于纯数学中，以及应用数学、计算机图形、计算机视觉中，等等。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x^2 + x^3i + xj + 0k$

四元数对象还可以具有虚系数

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$2 + (3 + 2i)i + x2j + 3.5ik$

由于符号 = 和 == 在 Python 中被定义为赋值和相等运算符，它们无法用于制定符号方程式。SymPy 提供 Eq() 函数来设置方程式。

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

x = y

由于仅当 x-y=0 时，x=y 才成立，因此上述方程式可以写成 −

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

x − y = 0

SymPy 中的 solver 模块提供了 soveset() 函数，其原型如下 −

默认的域是 S.Complexes。使用 solveset() 函数，我们可以如下求解代数方程式 −

获得以下输出 −

{−3, 3}

执行上面的代码片段后获得以下输出 −

{1,2}

solveset 的输出是有限集的解。如果没有解，则返回空集

执行上面的代码片段后获得以下输出 −

$\varnothing$

SymPy 使用 Matplotlib 库作为后端来渲染数学函数的 2D 和 3D 图。确保在当前 Python 安装中可以使用 Matplotlib。如果没有，请使用以下命令安装相同的命令 -

绘图支持在 sympy.plotting 模块中定义。绘图模块中存在以下函数 -

plot() 函数返回绘图类的一个实例。一个绘图图形可能有一个或多个 SymPy 表达式。虽然它能够使用 Matplotlib 作为后端，但也可以使用其他后端，如 texplot、pyglet 或 Google charts API。

其中 expr 是任何有效的 symPy 表达式。如果没有注明，则范围使用默认值 (-10, 10)。

以下示例绘制了 range(-10,10) 中每个值 x2 的值 -

要为相同范围绘制多张图，请在范围元组之前给出多个表达式。

您还可以为每个表达式指定单独的范围。

下图绘制了不同范围内的 sin(x) 和 cos(x)。

以下可选关键字参数可以在 plot() 函数中指定。

plot3d() 函数渲染一个三维图形。

以下示例绘制一个三维曲面图形 −

与 2D 图形类似，三维图形也可以有多个不同范围的图形。

plot3d_parametric_line() 函数渲染三维参数线图形。

要绘制参数曲面图形，请使用 plot3d_parametric_surface() 函数。

SymPy 中的几何模块允许创建二维实体，如线、圆等。然后我们可以获取有关它们的信息，例如检查共线或查找交点。

在数学中，一个集合是有序离散对象 مجموعة منظمة من كائنات منفصلة مرتبة جيدًا 的集合，这些对象可能是数字、人、字母或甚至是其他集合。集合也是 Python 中的内置类型之一。SymPy 提供集合模块。它包含不同类型的集合的定义，并具有执行交集、并集等集合运算的功能。

集合是 SymPy 中其他任何类型的集合的基本类。请注意，它与 Python 的内置集合数据类型不同。区间类别表示实区间，其边界属性返回一个 FiniteSet 对象。

sympy.sets.sets.FiniteSet

有限集合是离散数字的集合。它可以从列表或字符串等任何序列对象中获取。

Output

$\lbrace\lbrace0,1,…​,4\rbrace\rbrace$

Output

$\lbrace1,2,3,5,8\rbrace$

Output

{H,W,d,e,l,o,r}

请注意，在内置集合中，SymPy 的集合也是离散对象的集合。

ConditionSet 是满足给定条件的元素的集合

Output

$\lbrace x\mid x\in[1,10]∧x^2 - 2x =0\rbrace$

Union 是一个复合集。它包含两个集合中的所有元素。请注意，同时出现在这两个集合中的元素只在并集当中出现一次。

Intersection 相反，只包含同时出现在两个集合中的那些元素。

ProductSet 对象表示两个集合中元素的笛卡尔积。

Complement(a,b) 保留了集合 a 中的元素，排除了 b 集合中存在的元素。

SymmetricDifference 集合只包含两个集合中不常见的元素。

Output

{2,3,5,9}

SymPy 中提供有若干打印机。以下是部分列表 -

SymPy 对象也可以输出为各种语言的代码，例如 C、Fortran、Javascript、Theano 和 Python。

SymPy 使用 Unicode 字符以漂亮打印的方式呈现输出。如果你使用 Python 控制台执行 SymPy 会话，可以通过调用 init_session() 函数激活最优的漂亮打印环境。

适用于 SymPy 1.5.1 的 IPython 控制台（Python 3.7.4-64 位）（基本类型：python）。

已执行以下命令 -

可在 https://docs.sympy.org/1.5.1/. 找到文档

$\int \sqrt\frac{1}{x} dx$

如果未安装 LATEX 但安装了 Matplotlib，则将使用 Matplotlib 渲染引擎。如果未安装 Matplotlib，则将使用 Unicode 漂亮打印机。但是，Jupyter notebook 使用 MathJax 来渲染 LATEX。

在不支持 Unicode 的终端中，将使用 ASCII 漂亮打印机。

要使用 ASCII 打印机，请使用将 use_unicode 属性设置为 False 的 pprint() 函数

Unicode 漂亮打印机也可从 pprint() 和 pretty() 访问。如果终端支持 Unicode，则会自动使用它。如果 pprint() 无法检测到终端是否支持 Unicode，则可以传递 use_unicode=True 以强制其使用 Unicode。

要获取表达式的 LATEX 形式，请使用 latex() 函数。

\int \sqrt{\frac{1}{x}}\, dx

你还可以使用 mathml 打印机。为此，导入 print_mathml 函数。可以通过 mathml() 函数获取字符串版本。

<apply>

<int/>

<bvar>

<ci>x</ci>

</bvar>

<apply>

<root/>

<apply>

<power/>

<ci>x</ci>

<cn>-1</cn>

</apply>

</apply>

</apply>

'<apply><int/><bvar><ci>x</ci></bvar><apply><root/><apply><power/><ci>x</ci><cn>-1</cn></apply></apply></apply>'