Sympy 简明教程

SymPy - Simplification

Sympy 有强大的数学表达式简化能力。SymPy 中有许多函数可执行各种类型的化简。有一个称为 simplify() 的通用函数，它尝试到达表达式的最简单形式。

simplify

此函数在 sympy.simplify 模块中定义。simplify() 尝试应用智能启发式来使输入表达式“更简单”。以下代码显示了表达式 $sin ^2(x)+cos 2(x)$ 的简化形式。

>>> from sympy import *
>>> x=Symbol('x')
>>> expr=sin(x)**2 + cos(x)**2
>>> simplify(expr)

上面的代码段给出了以下输出：

expand

expand() 是 SymPy 中最常见的简化函数之一，用于展开多项式表达式。例如：

>>> a,b=symbols('a b')
>>> expand((a+b)**2)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$a^2 + 2ab + b^2$

>>> expand((a+b)*(a-b))

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$a^2 - b^2$

expand() 函数使表达式变大，而不是变小。通常情况下是这样，但expand() 经常会让表达式变小。

>>> expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)

上面的代码段给出了以下输出：

-2

factor

此函数采用一个多项式，并将其分解为有理数上的不可约因子。

>>> x,y,z=symbols('x y z')
>>> expr=(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)
>>> factor(expr)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$z(x + 2y)^2$

>>> factor(x**2+2*x+1)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$(x + 1)^2$

factor() 函数是 expand() 的相反函数。 factor() 返回的每个因子都保证是不可约的。 factor_list() 函数会返还更具结构的输出。

>>> expr=(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)
>>> factor_list(expr)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])

collect

此函数收集表达式中的加法项，根据含有有理指数的表达式列表分项。

>>> expr=x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
>>> expr

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x^3 + x^2z + 2x^2 + xy + x - 3$

针对这个表达式，collect() 函数的结果如下 −

>>> collect(expr,x)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x^3 + x^2(2 - z) + x(y + 1) - 3$

>>> expr=y**2*x + 4*x*y*z + 4*y**2*z+y**3+2*x*y
>>> collect(expr,y)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$Y^3+Y2(x+4z)+y(4xz+2x)$

cancel

cancel() 函数接受任意有理函数，并将其化成标准规范形式，p/q，其中 p 和 q 是没有公因子的展开多项式。p 和 q 的前导系数没有分母，即它们是整数。

>>> expr1=x**2+2*x+1
>>> expr2=x+1
>>> cancel(expr1/expr2)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x+1$

>>> expr = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)
>>> expr

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{\frac{3x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}$

>>> cancel(expr)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{3x^2 - 2x - 8}{2x^2 - 8}$

>>> expr=1/sin(x)**2
>>> expr1=sin(x)
>>> cancel(expr1*expr)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{1}{\sin(x)}$

trigsimp

此函数用于化简三角恒等式。需要注意的是，反三角函数的命名规则是将 a 附在函数名的前面。例如，反余弦或余弦弧称为 acos()。

>>> from sympy import trigsimp, sin, cos
>>> from sympy.abc import x, y
>>> expr = 2*sin(x)**2 + 2*cos(x)**2
>>> trigsimp(expr)

trigsimp 函数使用启发式方法来应用最合适三角恒等式。

powersimp

此函数通过将具有类似底数和指数的幂结合起来，来化简给定的表达式。

>>> expr=x**y*x**z*y**z
>>> expr

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x^y x^z y^z$

>>> powsimp(expr)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x^{y+z} y^z$

可以通过改变 combine=’base’ 或 combine=’exp’ 来使 powsimp() 仅合并底数或仅合并指数。默认情况下，combine=’all’，它同时执行这两个操作。如果 force 为 True，则会在不检查假设的情况下合并底数。

>>> powsimp(expr, combine='base', force=True)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x^y(xy)z$

combsimp

涉及阶乘和二项式的组合表达式可使用 combsimp() 函数进行化简。SymPy 提供了一个 factorial() 函数

>>> expr=factorial(x)/factorial(x - 3)
>>> expr

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{x!}{(x - 3)!}$

为了化简上述组合表达式，我们使用 combsimp() 函数，如下所示：

>>> combsimp(expr)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$x(x-2)(x-1)$

二项式 (x, y) 是从一组 x 个不同的项目中选择 y 个项目的方法的数量。通常也写为 xCy。

>>> binomial(x,y)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$(\frac{x}{y})$

>>> combsimp(binomial(x+1, y+1)/binomial(x, y))

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\frac{x + 1}{y + 1}$

logcombine

此函数取对数并将它们使用以下规则进行合并：

如果同时为正，则 log(x) + log(y) == log(x*y)
如果 x 为正而且 a 为实数，则 a*log(x) == log(x**a)

>>> logcombine(a*log(x) + log(y) - log(z))

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$a\log(x) + \log(y) - \log(z)$

如果此函数的 force 参数设置为 True，则如果在某个量上还没有假设，则将假定上述假设成立。

>>> logcombine(a*log(x) + log(y) - log(z), force=True)

上面的代码片段给出的输出等同于以下表达式 −

$\log\frac{x^a y}{z}$