Scipy 简明教程

SciPy - Integrate

当无法分析积分一个函数或者很难分析积分一个函数时，通常会使用数值积分法。SciPy 有很多例程可执行数值积分。其中大多数都可以在相同的 scipy.integrate 库中找到。下表列出了一些常用的函数。

Sr No.	Function & Description
1	quad Single integration
2	dblquad Double integration
3	tplquad Triple integration
4	nquad n-fold multiple integration
5	fixed_quad Gaussian quadrature, order n
6	quadrature Gaussian quadrature to tolerance
7	romberg Romberg integration
8	trapz Trapezoidal rule
9	cumtrapz 用于累积计算积分的梯形法则
10	simps Simpson’s rule
11	romb Romberg integration
12	polyint Analytical polynomial integration (NumPy)
13	poly1d polyint 的帮助函数 (NumPy)

Single Integrals

Quad 函数是 SciPy 集成函数的核心。数值积分有时被称为 quadrature ，因此得名。它通常是针对给定范围 a 到 b 上函数 f(x) 的单积分执行的默认选择。

\int_{a}^{b} f(x)dx

quad 的通用形式为，其中，‘f’是被积函数的名称。而 ‘a’ 和 ‘b’ 分别是下限和上限。让我们看一下一个范围在 0 和 1 之间的 Gaussian 函数的示例。

我们首先需要定义函数 → $f(x) = e ^{-x 2}$ ，这可以使用 lambda 表达式完成，然后在该函数上调用 quad 方法。

import scipy.integrate
from numpy import exp
f= lambda x:exp(-x**2)
i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1)
print i

上述程序将生成以下输出。

(0.7468241328124271, 8.291413475940725e-15)

quad 函数返回两个值，其中第一个数字是积分值，第二个数字是积分值绝对误差的估计。

Note − 由于 quad 需要函数作为第一个参数，因此我们不能直接传递 exp 作为参数。Quad 函数接受正无穷大和负无穷大作为极限。Quad 函数可以对单变量标准预定义 NumPy 函数（如 exp、sin 和 cos）进行积分。

Multiple Integrals

双重和三重集成的机制已封装到函数 dblquad, tplquad 和 nquad 中。这些函数分别集成四个或六个参数。所有内部积分的极限需要定义为函数。

Double Integrals

dblquad 的通用形式为 scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)。其中，func 是被积函数的名称，‘a’ 和 ‘b’ 分别是 x 变量的下限和上限，而 gfun 和 hfun 是定义 y 变量的下限和上限的函数的名称。

举个例子，让我们执行二重积分法。

\int_{0}^{1/2} dy \int_{0} ^{\sqrt{1-4y 2}} 16xy \:dx

我们使用 lambda 表达式定义函数 f、g 和 h。请注意，即使 g 和 h 是常数（在很多情况下它们可能都是），也必须将它们定义为函数，就像我们在此处为下限所做的那样。

import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
f = lambda x, y : 16*x*y
g = lambda x : 0
h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
print i

上述程序将生成以下输出。

(0.5, 1.7092350012594845e-14)

除了上面描述的例程之外，scipy.integrate 还有许多其他积分例程，包括执行 n 倍多重积分的 nquad，以及实现各种积分算法的其他例程。但是，对于我们的数值积分需求，quad 和 dblquad 将满足其中大部分需求。