Digital-electronics 简明教程

Digital Electronics - Binary Arithmetic

二进制算法是数字电子和计算机工程领域的基本概念之一。它基本上是二进制数的数学,允许对二进制数执行各种算术运算。我们知道二进制数系统有两个数字,即 0 和 1,它们用于表示数字系统的开或关状态。因此,二进制算法构成了数字计算的基础。

在本章中,我们将讨论以下四个主要的二进制算术运算−

  1. Binary Addition

  2. Binary Subtraction

  3. Binary Multiplication

  4. Binary Division

让我们详细讨论每个这些二进制算术运算以及求解示例。

Binary Addition

在二进制算术中,两个二进制数相加的过程称为二进制加法。其中,二进制数仅由 0 和 1 组成。在二进制加法中,当总和小于 1 时产生进位。

Rules of Binary Addition

两个二进制数的加法按以下二进制算术规则执行−

  1. 0 + 0 = 0

  2. 0 + 1 = 1

  3. 1 + 0 = 1

  4. 1 + 1 = 10(和 = 0,进位 = 1)

让我们考虑一些示例来理解二进制加法。

Example 1

添加两个二进制数,1101 和 1110。

Solution

如下描述了给定二进制数的二进制加法−

binary addition

Explanation

添加 1(第一个数的最右位)和 0(第二个数的最右位)。产生 1 + 0 = 1(因此,将 1 写为和位)。

添加 0(第一个数的倒数第二位)和 1(第二个数的倒数第二位)。产生 0 + 1 = 1(将 1 写为和位)。

添加 1(第一个数的第三位)和 1(第二个数的第三位)。产生 1 + 1 = 10(将 0 写为和,1 写为进位)。

添加 1(第一个数的最左位)、1(第二个数的最左位)和 1(进位)。产生 1 + 1 + 1 = 11(将 1 写为和,1 写为进位)。

在和中写下环绕进位 1。

因此,结果为 11011。

Example 2

添加 1010 和 11011。

Solution

如下说明给定数字的二进制加法−

binary addition numbers

Explanation

将 0(第一个数的最右侧位)和 1(第二个数的最右侧位)相加。得 0 + 1 = 1(将 1 作为和写下来)。

将 1(第一个数的次右侧位)和 1(第二个数的次右侧位)相加。得 1 + 1 = 10(将 0 作为和写下来,将 1 作为进位)。

将 0(第一个数的第三右侧位)、0(第二个数的第三右侧位)和 1(进位)相加。得 0 + 0 + 1 = 1(将 1 作为和写下来)。

将 1(第一个数的最左侧位)和 1(第二个数的次左侧位)相加。得 1 + 1 = 10(将 0 作为和写下来,将 1 作为进位)。

将 1(第二个数的最左侧位)和 1 进位相加。得 1 + 1 = 10(将 0 作为和写下来,将 1 作为尾进位)。

因此,1010 和 11011 的和是 100101。

Binary Subtraction

在二进制算术中,二进制减法是一种用来找出两个二进制数差值的数学运算。

在二进制减法中,从最右侧位开始,对二进制数的每一位进行减法。

另外,如果需要,可以从更高位借用借位。

Rules of Binary Subtraction

二进制减法按照以下二进制算术规则执行 −

  1. 0 – 0 = 0

  2. 1 – 0 = 1

  3. 0 – 1 = 1(从紧邻的高位中借用 1)

  4. 1 – 1 = 0

让我们看几个例子来理解二进制减法。

Example 1

从 1101 中减去 1100。

Solution

给定二进制数的减法如下 −

1101 – 1100 = 0001

binary subtraction

Explanation

从 1(第一个数的最右侧位)中减去 0(第二个数的最右侧位)。得 1 – 0 = 1(将 1 作为差值写下来)。

从 0(第二个数字的次右位)中减去 0(第一个数字的次右位)。结果为 0 – 0 = 0。

从 1(第二个数字的第三右位)中减去 1(第一个数字的第三右位)。结果为 1 – 1 = 0。

从 1(第二个数字的最左位)中减去 1(第一个数字的最左位)。结果为 1 – 1 = 0。

因此,1101 和 1100 的差为 0001。

Example 2

从 1111 中减去 101。

Solution

下面解释给定二进制数的减法:

binary subtraction numbers

Explanation

减去最右边的位:1 – 1 = 0

减去第二个最右边的位:1 – 1 = 1

减去第三个最右边的位:1 – 1 = 0

减去最左边的位:1 – 0 = 1

因此,结果为 1010。

Example 3

从 1101 中减去 1011。

Solution

1101 和 1011 的二进制减法如下:

binary subtraction number

Explanation

减去最右边的位:1 – 1 = 0。

减去第二个最右边的位:0 – 1 = 1。从更高位的下一位借 1。

减去第三个最右边的位:0 – 0 = 0。将 1 借给前一位。

减去最左边的位:1 – 1 = 0。

因此,1101 和 1011 的差为 0010。

Binary Multiplication

在二进制算术中,二进制乘法是将两个二进制数相乘并获得其乘积的过程。

在二进制乘法中,我们对一个二进制数字的每一位乘以另一个二进制数字的每一位,然后再对部分积相加,以得到最终结果。

Rules of Binary Multiplication

两个二进制数字相乘是基于二进制运算的下列规则进行的:

  1. 0 × 0 = 0

  2. 0 × 1 = 0

  3. 1 × 0 = 0

  4. 1 × 1 = 1

很明显,二进制乘法类似于十进制乘法。让我们通过一些解析示例来理解二进制乘法。

Example 1

对 1101 和 11 求积。

Solution

下文描述了指定数字的二进制乘法:

binary multiplication

Explanation

将第二个数字的最右侧位 1 与第一个数字 (1101) 的每一位数相乘。

现在,将部分积向左移动一位,以执行下一个乘法操作。

将第二个数字的最左侧位 1 与第一个数字 (1101) 的每一位数相乘。

最后,将所有部分积相加,以得到最终结果。

因此,1101 与 11 的积为 100111。

Example 2

对 11011 和 110 求积。

Solution

下文演示了给定二进制数字的乘法:

binary multiplication numbers

Explanation

将第二个数字的最右侧位 (0) 与第一个二进制数字 (11011) 的每一位相乘。

将部分积向左移动一位。

将第二个数字的第二右侧位 (1) 与第一个二进制数字 (11011) 的每一位相乘。

再次,将乘积向左移动一个位置。

将第二个数字(1)的最低位乘以第一个数字的每一位。

然后,对所有乘积求和以获得最终积。

因此,11011 和 110 的积为 10100010。

Binary Division

二进制除法是用于在将一个二进制数字除以另一个二进制数字时求商和余数的基本算术运算之一。

Rules of Binary Division

在将一个二进制数字除以另一个二进制数字时,使用以下二进制算术规则 -

  1. 0 ÷ 0 = 未定义

  2. 0 ÷ 1 = 0 余数 = 0

  3. 1 ÷ 0 = 未定义

  4. 1 ÷ 1 = 1 余数 = 0

Binary Division Procedure

  1. 从被除数的最低位开始除以除数。

  2. 将获得的商乘以除数并从被除数中减去。

  3. 将被除数的下一位向下移动,并重复除法过程,直到使用完所给被除数的所有位。

让我们考虑一些已解决的例程来了解二进制除法。

Example 1

将 110011 除以 11。

Solution

对给定二进制数字的除法如下所示 -

110011 ÷ 11 = 10001

binary division

在此二进制除法示例中,得到的商是 10001,余数为 0。

Example 2

将 11011 除以 10。

Solution

将 11011 除以 10 的二进制除法解释如下 −

11011 ÷ 10 = 1101

binary division numbers

在该示例中,商为 1101,余数为 1。

Conclusion

二进制算术涉及对二进制数执行的算术运算。通常,四则基本算术运算即加法、减法、乘法和除法是对二进制数执行的。

在本章中,我们解释了执行所有四则基本二进制算术运算的规则和程序,同时还提供了求解示例。