Digital-electronics 简明教程
Laws of Boolean Algebra
Boolean algebra 是一种处理逻辑运算和二进制数字系统的数学工具。它构建了数字电子器件和计算机科学的基础。
布尔代数中的定律和规则是对所有逻辑表达式构建的一组逻辑语句或表达式。布尔代数的每项定律都可以解释为由逻辑门等逻辑电路执行的操作。
在本章，我们将学习用于简化逻辑函数和布尔表达式的 laws and rules of Boolean algebra 。这些定律和规则是布尔代数中的基本工具，有助于降低复杂性及优化数字电路和系统。
让我们详细学习用于执行逻辑运算的布尔代数的主要定律和规则。
Laws of Boolean Algebra
下文中解释了布尔代数的所有重要定律和法则 -
Rules of Logical Operations
有三个基本的逻辑运算，即 AND、OR 和 NOT。下表突出显示了与这三个逻辑运算相关联的法则 -
AND Operation |
OR Operation |
NOT Operation |
0 AND 0 = 0 |
0 OR 0 = 0 |
NOT of 0 = 1 |
0 AND 1 = 0 |
0 OR 1 = 1 |
NOT of 1 = 0 |
1 AND 0 = 0 |
1 OR 0 = 1 |
|
1 AND 1 = 1 |
1 OR 1 = 1 |
可以使用逻辑门实现这些布尔代数定律。
AND Laws
在布尔代数中，有如下四个 AND 定律 -
-
Law 1 − A · 0 = 0 (此定律称为零律)。
-
Law 2 − A · 1 = A (此定律称为恒等律)。
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Law 3 − A · A = A
-
Law 4 − A · A' = 0
OR Laws
下面描述了四个 OR 定律 -
-
Law 1 − A + 0 = A（此定律被称为空集定律）。
-
Law 2 − A + 1 = 1（此定律被称为恒等律）。
-
Law 3 − A + A = A
-
Law 4 − A + A' = 1
Complementation Laws
布尔代数中有以下五个补码定律
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Law 1 − 0' = 1
-
Law 2 − 1' = 0
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Law 3 − 如果 A = 0，那么 A' = 1
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Law 4 − 如果 A = 1，那么 A' = 0
-
Law 5 − (A')' = A（这被称为双补码定律）
Commutative Laws
布尔代数中有以下两个交换律
Law 1 − 根据此定律，A OR B 运算产生的输出与 B OR A 运算产生的输出相同，即
A + B = B + A
因此，变量的顺序不影响 OR 运算。
此定律可以扩展到任意数量的变量。例如，对于三个变量，它将变为
A + B + C = C + B + A = B + C + A = C + A + B
Law 2 − 根据此定律，A AND B 运算的输出与 B AND A 运算的输出相同，即
A · B = B · A
此定律指出，ANDed 变量的顺序不影响结果。
我们可以将这个定理扩展到任何数量的变量。例如，对于三个变量，我们得到，
A · B · C = A · C · B = C · B · A = C · A · B
Associative Laws
结合律定义了组合变量的方式。如下所述，有两种结合律。
Law 1 − 表达式 A OR B ORed 与 C 的结果与 A Ored 与 B OR C 的结果相同，即
(A + B) + C = A + (B + C)
这个定理可以扩展到任何数量的变量。例如，对于 4 个变量，我们得到，
(A + B + C) + D = A + (B + C + D) = (A + B) + (C + D)
Law 2 − 表达式 A AND B ANDed 与 C 的结果与表达式 A ANDed 与 B AND C 的结果相同，即
(A · B) · C = A · (B · C)
我们可以将这个定理扩展到任何数量的变量。例如，如果我们有 4 个变量，则
(ABC)D = A(BCD) = (AB)·(CD)
Distributive Laws
在布尔代数中，以下两个分配律允许乘法或对表达式进行因式分解。
Law 1 − 根据这个定理，我们对多个变量进行 OR 操作，然后对结果与单个变量进行 AND 操作。
它与将单个变量与每个多个变量进行 AND 操作，然后对乘积项进行 OR 操作的表达式产生相同结果，即，
A · (B + C) = AB + AC
我们可以将这个定理扩展到任何数量的变量。例如，
A(BC + DE) = ABC + ADE
AB(CD + EF) = ABCD + ABEF
Law 2 − 根据这个定理，如果我们对多个变量进行 AND 操作，然后对结果与单个变量进行 OR 操作。
它得到与我们对单个变量与多个变量中的每个变量取“或”操作并计算和运算的结果相同，即
A + BC = (A + B)(A + C)
Proof − 此定律的证明在此处说明，
右侧 = (A + B)(A + C)
AA + AB + AC + BC
A + AB + AC + BC
A (1 + B + C) + BC
因为
1 + B + C = 1 + C = 1
因此，
A · 1 + BC = A + BC = 左侧
Redundant Literal Rule (RLR)
根据此规则，布尔代数有两条定律，在此处进行说明。
Law 1 − 根据此定律，如果我们将某个变量与变量的补集与另一个变量的与运算的结果进行“或”运算，则与将这两个变量进行“或”运算结果相同，即
A + A’B = A + B
Proof − 此定律的证明在此处说明，
左侧 = A + A’B = (A + A’)(A + B)
1 · (A + B) = A + B = RHS
Law 2 − 根据此定律，如果我们将某个变量与变量的补集与另一个变量的或运算的结果进行与运算，则与将这两个变量进行与运算的结果相同，即
A(A’ + B) = AB
Proof − 此定律可通过以下方式证明，
左侧 = A(A’ + B) = AA’ + AB
0 + AB = AB = RHS
这两条定律表明出现在另一项中的项的补集是多余的。因此，此规则被命名为冗余文字规则。
Idempotence Laws
“幂等性”一词是“相同值”的同义词。布尔代数中有两条幂等性定律。它们是：
Law 1 − 根据此定律，将某个变量与其自身进行与运算等于该变量，即
A · A = A
Law 2 - 按照此定律，变量自相或等于该变量，即
A + A = A
Absorption Laws
布尔代数中有两条吸收定律，具体说明如下。
Law 1 - 按照此定律，如果我们把一个变量与该变量和另一个变量的与或在一起，则等于变量本身，即
A + A · B = A
可按如下方式证明，
LHS = A + A · B = A · (1 + B)
A · 1 = A = RHS
Law 2 - 按照此定律，某个变量与该变量和另一个变量的或的与等于该变量本身，即
A(A + B) = A
也可以按如下方式证明，
LHS = A(A + B) = AA + AB
A + AB = A(1 + B) = A · 1 = A = RHS
因此，此定律证明，如果一个项出现在另一项中，那么后者将变得冗余，可以从该表达式中移除。