Digital-electronics 简明教程

Two Level Logic Realization

two level logic 中存在于输入和输出之间的最大逻辑层次为 2。这意味着，无论逻辑门总数量如何，任何输入和输出之间存在的（级联）逻辑门的最大数量在两级逻辑中为 2。此处，第一级逻辑门的输出连接为第二级逻辑门的输入。

考虑四个逻辑门 AND、OR、NAND 和 NOR。由于有 4 个逻辑门，我们将获得 16 种实现两级逻辑的可能方式。它们是 AND-AND、AND-OR、ANDNAND、AND-NOR、OR-AND、OR-OR、OR-NAND、OR-NOR、NAND-AND、NAND-OR、NANDNAND、NAND-NOR、NOR-AND、NOR-OR、NOR-NAND、NOR-NOR。

这两种两级逻辑实现可以分为以下两类。

  1. Degenerative Form

  2. Non-degenerative Form

Degenerative Form

如果单一逻辑门可以获取两级逻辑实现的输出，则称之为 degenerative form 。很明显，单一逻辑门的输入数量增加了。因此，逻辑门的扇入增加了。这是退化形式的一个优点。

16 种组合中只有两级逻辑实现的 6 combinations 属于退化形式。这些形式是：AND-AND、AND-NAND、OR-OR、OR-NOR、NAND-NOR、NOR-NAND。

在这一部分，我们来讨论一些实现。假设 A、B、C 和 D 是输入，而 Y 是每个逻辑实现中的输出。

AND-AND Logic

在这个逻辑实现中，AND 门同时存在于两级。下图展示了 AND-AND logic 实现的一个例子。

and and logic gate

我们可以将第一级逻辑门的输出获取为 Y1 = AB 和 Y2 = CD

这些输出 Y1 和 Y2 被用作第二级中 AND 门的输入。所以，此 AND 门的输出为

\mathrm{Y\:=\:Y_{1}Y_{2}}

在以上公式中代入 Y1 和 Y2 的值。

\mathrm{Y \: = \: (AB)(CD)}

\mathrm{\Rightarrow \: Y \: = \: ABCD}

因此，此 AND-AND 逻辑实现的输出为 ABCD 。此布尔函数可以通过使用 4 输入 AND 门来实现。因此，它是 degenerative form 。

AND-NAND Logic

在这个逻辑实现中，AND 门存在于第一级，而 NAND 门存在于第二级。下图展示了 AND-NAND logic 实现的一个例子。

and nand logic

之前，我们已将第一级逻辑门的输出获取为 Y1 = AB 和 Y2 = CD

这些输出 Y1 和 Y2 被用作第二级中 NAND 门的输入。所以，此 NAND 门的输出为

\mathrm{Y \: = \:(Y_{1}Y_{2})'}

在以上公式中代入 Y1 和 Y2 的值。

\mathrm{Y \: = \: AB)(CD '}

\mathrm{\Rightarrow \: Y \: = \: (ABCD)'}

因此，此 AND 门-NAND 门逻辑实现的输出为 (ABCD)'。此布尔函数可以通过使用 4 输入 NAND 门来实现。因此，它是 degenerative form 。

OR-OR Logic

在这个逻辑实现中，OR 门同时存在于两级。下图展示了 OR-OR logic 实现的一个例子。

or or logic

我们将得到第一级逻辑门输出为 Y1 = A + B，Y2 = C + D。

这些输出 Y1 和 Y2 被用作第二级存在的 OR 门的输入。因此，此 OR 门的输出为

\mathrm{Y \:= \: Y_{1}\:+\:Y_{2}}

在以上公式中代入 Y1 和 Y2 的值。

\mathrm{Y \: = \: (A\:+\:B) \: + \: (C\:+\:D)}

\mathrm{\Rightarrow \: Y \:=\:A\:+\:B\:+\:C\:+\:D}

因此，此 OR-OR 逻辑实现的输出为 A + B + C + D 。此布尔函数可通过使用 4 个输入的 OR 门实现。因此，它是 degenerative form 。

同样，您可以验证剩余实现是否属于此类。

Non-degenerative Form

如果无法通过使用单个逻辑门获得两级逻辑实现的输出，则称为 non-degenerative form 。

其余 10 combinations 的两级逻辑实现属于非退化形式。它们是 AND-OR、AND-NOR、OR-AND、OR-NAND、NAND-AND、NANDOR、NAND-NAND、NOR-AND、NOR-OR、NOR-NOR。

现在，让我们讨论一些实现。假设 A、B、C 和 D 是每个逻辑实现中的输入，Y 是输出。

AND-OR Logic

在此逻辑实现中，AND 门存在于第一级，而 OR 门存在于第二级。下图显示了一个 AND-OR logic 实现的示例。

and or logic

之前，我们获得了第一级逻辑门输出为 Y1 = AB 和 Y2 = CD。

这些输出 Y1 和 Y2 被用作第二级存在的 OR 门的输入。因此，此 OR 门的输出为

\mathrm{Y\:=\:Y_{1}\:+\:Y_{2}}

在上述方程中代入 Y1 和 Y2 值

\mathrm{Y\:=\:AB\:+\:CD}

因此，此 AND-OR 逻辑实现的输出为 AB + CD 。此布尔函数采用 Sum of Products 形式。由于我们无法通过使用单个逻辑门实现它，因此此 AND-OR 逻辑实现是一个 non-degenerative form 。

AND-NOR Logic

在此逻辑实现中，AND 门存在于第一级，而 NOR 门存在于第二级。下图显示了一个 AND-NOR logic 实现的示例。

and nor logic

我们知道第一级逻辑门的输出为 Y1 = AB 和 Y2 = CD

这些输出 Y1 和 Y2 被用作第二级存在的 NOR 门的输入。因此，此 NOR 门的输出为

\(\mathrm{Y \:=\:(Y_{1}\:+\:Y_{2})'}\)

在以上公式中代入 Y1 和 Y2 的值。

\(\mathrm{Y\:=\:(AB\:+\:CD)'}\)

因此，此与非逻辑实现的输出是 (AB + CD)' 。此布尔函数具有 AND-OR-Invert 形式。由于我们无法通过使用单个逻辑门来实现它，因此此与非逻辑实现是 non-degenerative form

OR-AND Logic

在此逻辑实现中，或门存在于第一级，并且与门存在于第二级。下图显示了 OR-AND logic 实现的示例。

or and logic

之前，我们获得了第一级逻辑门的输出为 Y1 = A + B 和 Y2 = C + D。

这些输出 Y1 和 Y2 被用作第二级中 AND 门的输入。所以，此 AND 门的输出为

\mathrm{Y\:=\:Y_{1}Y_{2}}

在以上公式中代入 Y1 和 Y2 的值。

\(\mathrm{Y \: = \: (A\:+\:B)(C\:+\:D)}\)

因此，此或与逻辑实现的输出为 (A + B) (C + D) 。此布尔函数具有 Product of Sums 形式。由于我们无法通过使用单个逻辑门来实现它，因此此或与逻辑实现是 non-degenerative form 。

同样，您可以验证剩余实现是否属于此类。